Homogene Koordinaten

Projektives Koordinatensystem

Homogene Koordinaten

Homogene Koordinaten lassen sich am Besten am beispiel Echt der projektiven Ebene verstehen. Die projektive Gerade und höherdimensionale projektive Räume Werden analog mit Koordinaten Versehen. Im homogenes Modell , das projektive Ebenebene realisiert

• ein Punkt der projektiven Ebene ursprünglich im dreidimensionalen Raum und
• Eine Generation der projektiven Ebene einer Originals i dreidimensionalen Raum.

Ein Punkt Liegt Dann Auf einer Gerade, fällt sterben zum Punkt klangliche Ursprungsgerade in der zur Gerade gehörenden Ursprungsebene Liegt (siehe Bild). Ein Punkt{\ displaystyle P}Die projektive Ebene kann durch einen beliebigen Punkt dämpfen {\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ neq (0,0,0)}der zugehörigen Ursprungsgerade wurden beschrieben. Mann schreit

{\ Display P = (x_ {1} \ colon x_ {2} \ colon x_ {3})}

Es ist nicht bekannt {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}} homogene Koordinaten von Punkten{\ displaystyle P}. Offensichtlich gültig

{\ Anzeigeart (x_ {1} \ colon x_ {2} \ colon x_ {3}) = (rx_ {1} \ colon rx_ {2} \ colon rx_ {3})}

für jede Zahl {\ displaystyle r \ neq 0}. Eine Schleife der Projektative Ebene wird durch eine (homogene) Ebenengleichung {\ displaystyle ax_ {1} + bx_ {2} + cx_ {3} = 0}beschrieben. In diesem Modell können Sie von den grundlegenden Legenden lernen.

• Zu je two Punkten is also genau Eine Verbindungsgerade , sterben Beide Punkte Enthält.
• Sie sind der Eigentümer der Immobilie.

Inhomogene Koordinaten

Beim inhomogenen Modell , wo echten projektive Ebene geht man von der Anschauungsebene aus und ergänzt stirbt Punkt Menge Durch Fernpunkte so that ich je two gerade, auch parallel Auch gerade in genau Einen Punkt Schneiden.

Nach Einführung von Kartesischen Koordinaten füge man jeder Gerade {\ displaystyle y = mx + d, d \ in \ mathbb {R},} Mit der Steinigung {\ displaystyle m} üblicherweise den Fernpunkt {\ displaystyle (m)}hinzu. Die Geraden{\ displaystyle x = c} (Parallel zur y-Achse) erhalten den Fernpunkt {\ displaystyle (\ ingty)}(siehe Bild). Als du gehört hast, dass die Fernpunkte durch eine Gerade verbunden sind, musst du alle Fernpunkte zur Ferngerade{\ displaystyle g _ {\ infty}}zusammen. Du suchst nach etwas, so ist die Inzidenzstruktur (der erweiterten Anschauungsebene) wichtig.

• Du hast eine tolle Zeit.
• Du hast eine tolle Zeit.

Isomorphie

Die große vorteil homo Gene Koordinaten Gegenüber dem anschaulicheren inhomogenen Koordinaten in der Liegt homogene Darstellung der Punkte und gerade. Fernpunkte und Ferngerade spielen formal keine Rolle mehr Probes und alle Kollineationen, einschließlich wo Übersetzung, lassen sich Durch einheitlich Abbildung linear(Matriz) beschreiben. Letzteres spielt insbesondere in der Computergrafik Eine große Rolle.

Zusammenfassung:

{\ Display (x, y) \ \ rechten Pfeil \ (x \ colon y \ colon 1) \, \ quad (m) \ \ rechten Pfeil \ (1 \ colon m \ colon 0) \, \ quad (\ Infty) \ \ Pfeil nach rechts \ (0 \ colon 1 \ colon 0) \}.

Umkehrung:

{\ Anzeigeart (x_ {1} \ colon x_ {2} \ colon x_ {3}) \ \ Pfeil nach rechts \ \ left ({\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}}, {\ frac {x_ {2}} {x_ {3}}} \ right)}fällt {\ displaystyle x_ {3} \ neq 0 \}

{\ Anzeigeart (x_ {1} \ colon x_ {2} \ colon 0) \ \ \ Pfeil nach rechts \ \ left ({\ frac {x_ {2}} {x_ {1}}} \ right)}fällt {\ displaystyle x_ {1} \ neq 0 \}

{\ displaystyle (0 \ Doppelpunkt x_ {2} \ Doppelpunkt 0) \ Viereck \ rechter Pfeil \ (\ infty) \.}

Zuordnung der Geraden:

{\ displaystyle y = mx + d \ \ linkstrightarrow \ mx_ {1} -x_ {2} + dx_ {3} = 0 \}

{\ displaystyle x = c \ vier \ qquad \ leftrightarrow \ x_ {1} -cx_ {3} = 0 \}

{\ displaystyle g _ {\ infty} \ qquad \ qquad \, \ linkstrightarrow \ x_ {3} = 0 \.}

Die Einbettung wird in der Literatur nicht einheitlich dargestellt. So sind die homogenen Koordinaten auch mit{\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})} Bezeichnet Signal der Ferngerade de Gleichheit {\ displaystyle x_ {1} = 0} erfüllen.

Allgemeine Definition

Jeder Punkt in Einsamkeit {\ displaystyle n}-dimensionaler projektiver Raum kann durch{\ displaystyle n + 1}Koordinaten wurden beschrieben. Dort projektiver Raum{\ displaystyle P ^ {n} (K)}über sie fährt {\ displaystyle K}ist als der Faktorraum definiert

{\ displaystyle P ^ {n} (K) = \ links (K ^ {n + 1} \ setminus \ {(0, \ lDots, 0) \} \ rechts) / \ sim}

die Koordinaten {\ displaystyle K ^ {n + 1}}ohne den Nullvektor {\ displaystyle (0, \ ldots, 0)}bezüglic der Äquivalenzrelation

{\ displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ sim (y_ {0}, \ ldots, y_ {n}) \ Leftrightarrow (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) = (\ lambda y_ {0}, \ ldots, \ lambda y_ {n}) ~ {\ text {für ein}} ~ \ lambda \ neq 0}.

Die Homogenen Koordinaten eines Punkts {\ displaystyle P \ in P ^ {n} (K)} der projektive Raumgedanke entstand {\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}, wobei {\ displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n})}Ein beliebiges Element der entsprechenden Äquivalenzklasse ist. Homogene Koordinaten wurden durchsucht

{\ displaystyle P = \ left (x_ {0} \ Doppelpunkt x_ {1} \ Doppelpunkt \ lDots \ Doppelpunkt x_ {n} \ rechts)} oder {\ displaystyle P = \ links [x_ {0} \ Doppelpunkt x_ {1} \ Doppelpunkt \ ldots \ Doppelpunkt x_ {n} \ rechts]}

Notes, wobeid de Doppelpunkte andeutet solen, dass die Darstellung nur auf Multiplikation mit einer Constant Endung ist. ^[1]

Projektive Transformation

Im Schwedischen Dimensionen Raum

Im Folgendem werden alle afbilden Abbildungen im im inomogenen Modell zu Projektitäten fortsetzt und dann im homogenen Modell durch Matrizen beschrieb. Es ist aber auch zu vermuten, dass die juweligen Matrizen (im homogenes Modell) Nichte endlos sind. Du kennst die Einheitsmatrix nicht{\ displaystyle \ mathbf {E}}, ohne Probleme {\ displaystyle r \ mathbf {E}, \; r \ in \ mathbb {R},} (Skalierungsmatrix im {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}) Leser ursprünglich falsch (projektoriver Punkt) invariant. Sie können auch eine Matrix mit einer beliebigen Skalierungsmatrix multiplizieren, ohne dass die zugehörige Projektivität endet.

Die Fortsetzungen der Affinitäten liefern nur die Collations, die Ferngerade als Ganzes festschweißen. Die passenden Matrizen im homogenen Modell zeichnen sich durch aus, dass sie in den ersten beiden Spalten an der 3. Stelle eine 0 haben. Du isst auch keine Matrizen auf. Aber es gilt:

• Jede 3 × 3-Matrix regulieren (Determinante nicht 0) induzierte eine Kollaboration der Projektiven Ebene, die Projektivität bemannt. Die Menge der Projektivitäten bild die Gruppe{\ displaystyle PGL (3, \ mathbb {R})}( Projektive Liniengruppe ).

Z. B .: Die Matrix {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}} Ihre Projekt Vitalität, die im inhomogenen Modell der Fergnerade induziert {\ displaystyle g _ {\ infty}} mit der Y-Achse vertauscht und den Punkt {\ displaystyle (x, y)} mein sie zeigen {\ displaystyle ({\ tfrac {1} {x}}, {\ tfrac {y} {x}}}}. (Die Punkte{\ displaystyle (-1.0), (1, y)} Fixings.) Auch gibt es eine scharfe Fortsetzung der Affinität.

Wird der Mensch Eine Beliebers Projektivität im inhomogenen Modell Schauspieler, so ist stirbt nur mit gebrochen linears Ausdrücken Möglich. So sieht die Stärke des homogenn Modells aus. Ich komme zu meiner Linie Ausdrücken aus.

Im Dreidimensionalen Raum

Homogene Koordinaten können analog zum folgenden Fall auch in 3-dimensionalen projektiven Raum eingeführt werden. Es gibt 4 homogene Koordinaten und die Abbildungmatrizen der Projektivitäten sind 4 × 4-Matrizen. In der Computergrafik wurde die Transformation der Raumas homogenisiert.Koordinaten durch 4 × 4-Matrizen dargestellt, ohne die Projektionen von Raumes auf eine Ebene (siehe Grafikpipeline ). Wenn die Sonnenscheinprojektionen abnehmen Dimension wird (von 3 auf 2), jene suizidalen Matrizen, die Determinante 0 bestimmen. Hier sind die Fragen von Projection Matrizes:

Die Erste Matrix beschreibt die Zentralprojektion vom Augpunkt{\ displaystyle (0.0, d), d \ neq 0,}Die xy-Ebene. Die zweite Matrix behandelt die orthogonale Projektion auf die xy-Ebene.

Anwendungen

In der Geometrie der Geometrie wurden homogene Koordinaten verwendet

• Kegelschnitte zu unterscheiden (siehe projektive Kegelschnitte ),
• Die Zusammenstellung der projektiven Geraden, Ebenen und Räume zu untersuchen (Projective Lineare Group ).

In der Computergrafik wurden homogene Koordinaten verwöhnt

• Transformation von Objekten durchführen,
• rationale Bézier- und B-Spline-Kurven und -Flächen einführen und zu unterscheiden. ^[2] [3]

Beim Robotik- Schweißen werden die ersten Achsen durch Verkettung ihrer eigenen homogenen Matrizen beschriftet. Hierfür wird als Standardverfahren die Denavit-Hartenberg-Transformation angetreten .

Literatur

• Albrecht Beutelspacher , Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X , S. 63.
• G. Farin: Kurven und Oberflächen für CAGD , Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7 , S. 217
• CE Springer: Geometrie und Analyse projektiver Räume . San Francisco und London, 1964.
• Frank Klawonn: Grundkurs Computergrafik mit Java. Die grundlegenden Schichten sind mit Java 3D versteckt und einfach. 3. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1223-0 .

Weblinks

• W. Globke: Koordinaten, Transformation und Roboter , Uni Karlsruhe, S. 20.
• S. Krömker: Computergraphik I , Uni Heidelberg, S. 29.
• M. Pester: Mathematische Grundlagen der Computergeometrie , Uni Chemnitz, S. 7.

Einzelstunden

1. Hochspringen↑ Ina Kersten: Analytische Geometrie und Lineare Algebra . Band 2. Universität Verlag Göttingen, 2006, ISBN 978-3-938616-44-4 , S. 85.
2. Hochspringen↑ Hoschek, Schweißer: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner 1989, ISBN 3-519-02962-6 , S. 143.
3. Hochspringen↑ G. Farin: Kurven und Oberflächen für CAGD , Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7 , S. 231.